Математика
Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
X
Учение о числах и геометрии Пифагора
Используя данные различных авторов, А.О. Маковельский излагает гипотезу о математических достижениях пифагорейцев:
«Прежде всего мы назовем Пифагора великим математиком. Вера в религиозно-катартическое действие науки дала ему силу положить основание чистой математики. В арифметике пифагорейцев основным (и, может быть, первоначальным) следует считать прежде всего деление чисел на чётные, нечётные и чётно-нечётное первичное число (единица).
Этому тройному делению составляют параллель три вида чисел, открытых пифагорейцами: так называемые квадратные, прямоугольные и треугольные числа.
Квадратные числа получаются через сложение нечётных: 1+3=4=22; 1+3+5=9; 1+3+5+7=16 и т. д. Прямоугольные числа получаются через сложение чётных: 2+4=6; 2+4+6=12 и т. д.
Треугольные числа получаются через сложение по порядку четных и нечетных чисел: 1 + 2 + 3 + ... + N = .
В пифагорейской школе рано было открыто также взаимоотношение квадратов чисел (учение о сумме квадратов чисел). Далее у них мы находим учение о средних величинах, т. е. о пропорциях и отношениях величин. Средними величинами в древности назывались группы таких трёх величин, средняя из которых есть функция двух крайних. Насчитывали всего десять видов «средних величин». Из них три вида: так наз. арифметическое, геометрическое и гармоническое среднее вошли в современную математику под названием непрерывных пропорций (арифметическая непрерывная пропорция а – c = c - b, геометрическая а : с = с : b, и гармоническая (а - b) : (b - с) = а : с […]
Из пифагорейской же школы вышла Пифагорова таблица умножения, вписанная в четырехугольник.
Размышления над основами математического счета привели Пифагорейцев к поклонению священной декаде. Все остальные числа суть для них простые повторения первых десяти. Декаду они отождествляли с четвёркой, так как сумма первых четырёх цифр равна 10.
Священными числами считались по преимуществу единица, как первоначало чисел, троица, так как истинное единство представлялось им триединством, четверица, как заключающая в себе тайну декады, и, наконец, сама десятка. Впоследствии мистика чисел у пифагорейцев сильно развилась. Переходя к пифагорейской геометрии, прежде всего, отметим применение ими числа к пространству.
Элементы пространства и геометрические фигуры они сводят к числам. Так, точка есть пространственная единица, линия - пространственное 2, поверхность 3, тело 4. К пифагорейским открытиям в геометрии принадлежит прежде всего так наз. Пифагорова теорема (в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Другая теорема, открытая Пифагором, говорит о сумме углов в треугольнике […]
Вообще содержание двух первых книг «Начал Эвклида» - собственность пифагорейской школы. Сам Пифагор открыл несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной.
В стереометрии пифагорейцы первые открыли 5 правильных геометрических тел: куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.
По Эвдему, Пифагор первый сделал геометрию подлинной наукой. И мы полагаем, что именно его, а не Фалеса, следует считать основателем дедуктивной геометрии. Впервые у Пифагора математика из практического искусства становится чистой наукой.
Наконец, Пифагор полагает начало математическому естествознанию. Он создает математическую акустику (а именно, тот отдел её, который назывался каноникой или гармоникой, т. е. учение о музыкальных интервалах) и теоретическую астрономию (сферику, т. е. начала небесной механики). Он открывает математическую закономерность, с одной стороны, в музыке, с другой, в обращении небесных светил и, исходя отсюда, постулирует существование такой же математической закономерности во всех явлениях. И не только физические и метафизические, но также социальные, этические и теологически понятия получают математическую окраску.
«Всё есть число» становится основоположением пифагорейского мировоззрения и универсальным методом их научных построении. Но так как поставленная ими задача - выразить в форме математических законов не только всю действительность, но и содержание своих мифологических и теологических верований, а равным образом этических и социальных идеалов - была неразрешимой, то они прибегли к произвольной аналогии и игре числами и таким образом создали фантастическую числовую символику.
Древнейшая форма пифагорейской космологии, восходящая, вероятно, к самому Пифагору, примыкает самым тесным образом к учению - Анаксимена. Последний учил, что мир дышит, что в мир постоянно втекает воздушная масса из бесконечного пространства за миром. Беспредельный воздух Анаксимена тождествен для Пифагора с геометрическим пространством, но для создания мира, по его мнению, недостаточно этого единого «неограниченного» принципа, необходимо еще другое, «ограничивающее» начало. Таковым является огонь. Жизнь мира заключается в том, что он вдыхает, втягивает в себя воздушную пустоту. Таким образом, пифагорейцы первые выдвинули понятие пустоты, и у них же впервые признается первоэлементом огонь (последнее - Аристотель приписывает пифагорейцу Гиппасу).
Мировоззрение пифагорейцев было дуалистическим: основную противоположность образовывали предел и беспредельное, или огонь и воздух (или свет и тьма). Высшим принципом являлось у них не безразличие противоположностей, как у Анаксимандра, но примирение противоположностей, т. е. гармония, или мера.
Жизнь вселенной есть постоянное ограничивание неограниченного и познание есть определение неопределенного. Единство первичных противоположностей (границы и безграничного) есть гармония. Гармония не есть нечто субъективное, человеческое, напротив, это объективная сущность, высший мировой закон. Таковы основы пифагорейской космологии.
Сверх того, следует упомянуть, что пифагорейцы признавали множественность миров и бесконечную повторяемость всех явлений. Всё возвращается бесконечное число раз: все наши поступки и все обстоятельства нашей жизни до мельчайших подробностей повторятся в будущем бесчисленное число раз подобно тому, как и в прошлом они уже совершались бесконечное число раз. Из астрономических взглядов Пифагорейцев отметим учение о шарообразности земли и связанную с этим теорию климатических поясов, учение о движении земли вокруг центрального мирового огня, учение о движении светил в шарообразных сферах, которые при движении издают звуки - «гармонию сфер», различение движения планет с запада на восток от их суточного движения с востока на запад. Все эти учения, вероятно, восходят к самому Пифагору».
Маковельский А.О., Досократики: доэлеатовский и элеатовский периоды, Минск, «Харвест», 1999 г., с.142-145.
