«Предположим, что, несмотря на «здравый смысл», Вам пришлось допустить, будто любая линия должна иметь некую максимальную конечную длину.
В этом случае всё противоречия тупоугольной геометрии исчезали и появлялась вторая справедливая разновидность неевклидовой геометрии. Впервые это доказал в 1854 году немецкий математик Георг Ф. Риман (1826-1866).
Итак, теперь у нас есть три сорта геометрии, которые мы можем различать с помощью утверждений, эквивалентных разновидности пятого постулата Евклида, использованного в каждом случае:
A) Остроугольная геометрия (неевклидова): через точку, не лежащую на данной линии, можно провести бесконечное количество линий, параллельных данной линии.
Б) Прямоугольная геометрия (евклидова): через точку, не лежащую на данной линии, можно провести одну, и только одну линию, параллельную данной линии.
B) Тупоугольная геометрия (неевклидова): через точку, не лежащую на данной линии, нельзя про-вести ни одной линии, параллельной данной линии.
Вы можете обозначить различия другим и эквивалентным способом:
А) Остроугольная геометрия (неевклидова): сумма углов треугольника меньше 180°.
Б) Прямоугольная геометрия (евклидова): сумма углов треугольника равна 180°.
В) Тупоугольная геометрия (неевклидова): сумма углов треугольника больше 180°.
Теперь Вы можете спросить: но какая же геометрия правильная (верная, истинная)'?
Если мы определяем «правильная» как внутренне логичная, тогда все три геометрии равно правильные.
Конечно, они несовместимы друг с другом, и, возможно, только одна соответствует реальности. Следовательно, мы могли бы спросить: какая геометрия соответствует свойствам реальной Вселенной?
И опять ответ - все соответствуют.
Рассмотрим, например, проблему путешествия из точки А на поверхности Земли в точку В на поверхности Земли и предположим, что мы хотим попасть из А в В по кратчайшему расстоянию.
Чтобы упростить результаты, давайте сделаем два допущения.
Первое - допустим, что Земля - идеально гладкая сфера. На самом деле это почти правда, и мы без особых искажений можем исключить горы и долины и даже экваториальную выпуклость.
Второе - допустим, что в наших передвижениях мы ограничены поверхностью сферы и не можем, например, закопаться в её глубину.
Чтобы определить кратчайшее расстояние от А до В на поверхности Земли, мы могли бы протянуть нитку из одной точки в другую и туго её натянуть. Если бы мы сделали это между двумя точками на плоскости, то есть на поверхности, похожей на бесконечно вытянутую во все стороны плоскую доску, результат был бы тем, что мы обычно называем «прямой линией».
Однако на поверхности сферы результат - кривая, и всё же эта кривая является аналогом прямой линии, ведь эта кривая - кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы. Трудно заставить себя принять кривую, как аналог прямой линии, потому что всю жизнь мы думали «прямо». Тогда воспользуемся другим словом. Назовём кратчайшее расстояние между двумя точками на любой данной поверхности «геодезической линией».
На плоскости геодезическая линия - прямая линия; на сфере геодезическая линия - кривая и, в частности, дуга «большой окружности». Такая большая окружность имеет длину, равную окружности сферы, и лежит в плоскости, проходящей через центр сферы. На Земле примером большой окружности являются экватор и все меридианы. На поверхности любой сферы можно провести бесконечное количество больших окружностей. Если Вы выберете на сфере любые две точки и свяжете каждую пару туго натянутой нитью, то в каждом случае вы получите дугу другой большой окружности.
Вы видите, что на поверхности сферы не существует такого понятия, как геодезическая линия бесконечной длины. Если её продолжать, она, обойдя вокруг сферы, просто встретится сама с собой и станет замкнутой кривой. На поверхности Земли геодезическая линия не может быть длиннее 25 000 миль.
Более того, любые две геодезические линии, проведённые на сфере, если их бесконечно продолжать, пересекутся, и пересекутся в двух точках. Например, на поверхности Земли два любых меридиана встречаются на Северном полюсе и на Южном полюсе. Это означает, что на поверхности сферы через любую точку на данной геодезической линии нельзя провести геодезическую линию, параллельную данной геодезической линии. Через точку нельзя провести ни одной геодезической линии, которая рано или поздно не пересеклась бы с данной геодезической линией.
И опять же, если Вы нарисуете на поверхности сферы треугольник, каждая сторона которого - арка большого круга, то углы его дадут в сумме больше 180°. Если у Вас есть глобус, представьте треугольник с одной из его вершин на Северном полюсе, со второй на экваторе и 10° западной долготы, а с третьей - на экваторе и 100° западной долготы. Вы получите равносторонний треугольник, каждый угол которого равен 90°. Сумма углов этого треугольника равна 270°.
Если считать геодезические линии аналогами прямых линий, то это в точности та геометрия, которую разработал Риман.
Это геометрия конечных линий, непараллельных линий и треугольников, сумма углов которых больше 180°. То, что мы назвали тупоугольной геометрией, можно также назвать геометрией сферы. А то, что мы называли прямоугольной геометрией или евклидовой геометрией, также можно назвать геометрией плоскости».
Айзек Азимов, Асимметрия жизни. От секрета научных прозрений до проблемы перенаселения, М., «Центрполиграф», 2007 г., с. 171-174.
