Различные способы преобразования информации и знаний
Дифференциация системРазделение в процессе эволюции исходной и однородной систем на две или более разнородных…
МатематикаМатематические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
X
«Сам Буль иногда жаловался, что из-за отсутствия руководства ему пришлось потратить много лет жизни зря, но, с другой стороны, над развитием его образа мыслей не довлела ни одна ортодоксальная школа, отчего наука только выиграла.
Однако, как бы то ни было, за свою короткую жизнь Буль добился высших научных отличий. К концу жизни он уже возглавлял кафедру математики в Куинз Колледж в Корке.
Область интересов Буля, так же как и ряда других учёных, о которых мы уже говорили, была сосредоточена на математике и логике и в первую очередь на возможности сведения словесной логики к математической.
Ему удалось построить алгебру с формальными правилами, с помощью которой можно выразить любое высказывание, облечённое в словесную форму.
Так, например, можно принять, что х = «идёт дождь», а у = «идёт град». Тогда произведение ху будет означать, что «идёт дождь и град». После перевода таких обыденных словесных выражений в математические символы алгебра полностью вступает в свои права и выводы получаются уже чисто математическими средствами.
В начальный период исследования перед Булем возникла следующая проблема. В логике существует закон тождества, который просто утверждает, что вещь является самой собой. Алгебраически этот закон выражается равенством х = х (тождеством), и никто против этого не возражает.
Если в обычной речи мы повторяем одно и то же дважды, то смысл наших слов от этого не меняется. Этим мы можем лишь усилить высказывание, но формальные свойства утверждения «идёт дождь, идёт дождь» ничем не отличаются от свойств однократного утверждения «идёт дождь». Однако в булевой алгебре закон тождества необходимо было преобразовать, чтобы учесть, что х = х и хх = х.
Последнее выражение недопустимо в обычной алгебре, в которой х2 = х представляет собой бессмыслицу. Более того, словесное выражение не меняет смысла от бесконечного повторения утверждения «идет дождь», так что в общем виде в алгебре логики получается, что хn = х.
Эту аксиому необходимо было принять в логической алгебре, хотя для обычной алгебры она совершенно неприемлема. В этом и заключалась проблема, которую должен был решить Буль.
Однако Буль заметил, что это противоречие с классической алгеброй можно снять, если наложить определённые условия на численную интерпретацию всей построенной им алгебры. Поэтому он ввёл необходимое ограничение, заключающееся в том, что все алгебраические переменные могут принимать только два численных значения: 0 и 1.
При этом условии равенство хn = х справедливо.
Такое построение булевой алгебры полностью соответствует всей истории логики, начиная с Аристотеля, ибо логики всегда стремились сформулировать свои высказывания так, чтобы их можно было считать либо истинными, либо ложными, т. е. принять или отвергнуть.
Нуль в алгебре Буля соответствует отрицанию, единица - утверждению.
Следовательно, х = 1 означает «идёт дождь», а у = 0 означает «града нет».
Вскоре Булю удалось разработать весьма совершенный математико-логический аппарат, основанный на этом принципе. Так, например, выражение (1 - х) у = 1 означает «град идёт, но дождя нет», а (1 - х) (1 - у) = 1 выражает суждение «нет ни дождя, ни града».
Стаффорд Бир, Кибернетика и управление производством, М., «Наука», 1965 г., с.113-114.
