Экстремальные принципы
Математика
Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
X
Открытие вариационных методов Леонардом Эйлером
Леонард Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению: Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума.
Предложенная в этой книге символика до сих пор используется в математике.
Для написания книги Л. Эйлер изучил работы Пьера Мопертюи и «… понял, что причинный и телеологический пути объяснения эквивалентны: «Нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи метода максимумов и минимумов, как и из самих причин производящих? Если стихийное развитие научной теории направлено к определённому идеалу, то, очевидно, мы сэкономим себе силы и время, если уясним себе форму этого идеала и будем стремиться к нему сознательно».
История действительно знает попытки такого рода. Открытие экстремальных принципов в своё время породило надежду, что к открытию законов природы можно идти не только «снизу», путём индукции, обобщения фактов, но и «сверху», путем дедукции от экстремальных принципов. Эйлер, в частности, считал, что главное здесь - путём общих «метафизических» рассуждений найти ту величину, которую «экономит природа» в данной области естествознания (целевую функцию, функционал) и сформулировать соответствующий экстремальный принцип. В скрытом виде он содержит все нужные нам законы. Получить их в явной форме - дело простой математической ловкости.
Несмотря на соблазнительную простоту этой программы, реализовать её ни разу не удалось - ни самому Эйлеру, ни тем, кто пытался следовать за ним.
Причина этого достаточно очевидна: не существовало никакого регулярного метода для отыскания минимизируемой величины. Оптике и механике в этом отношении повезло: соответствующие величины оказались для них достаточно простыми и, в сущности, могли быть найдены путём перебора.
Но уже в термодинамике максимизируемая величина - энтропия - не обладала ни формальной простотой, ни достаточно ясным физическим смыслом.
После ряда неудач программа Эйлера по отысканию законов природы «сверху» была заброшена. Более того, сами экстремальные принципы были взяты под подозрение и значительно урезаны в своих «правах» вследствие своего рода «телефобии», которой была заражена позитивистски настроенная наука XIX века.
И только революция в физике, вызванная теорией относительности и квантовой механикой, окончательно утвердила за экстремальными принципами их центральное положение. Выяснилось, в частности, что экстремальные принципы (в отличие от «векторных» законов ньютоновой механики) обладают важным свойством инвариантности – независимости от используемой системы отсчета».
Голицын Г.А., Информация и творчество: на пути к интегральной культуре, М., «Русский мир», 1997 г., с. 21.
