Cвойства фрактальных моделей по Ю.С. Степанову
«Фракталы - новое явление, открытое и все еще открываемое в наши дни. Термин фрактал был придуман математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году (широко использоваться стал с 1980 года), но явление или, лучше сказать, целый класс явлений, которые этим термином покрываются, был известен в отдельных примерах ещё с древности (например, в виде апории Зенона «Догонит ли Ахиллес черепаху?») и неустанно пополняется вплоть до наших дней. Мы знаем многие такие явления, не зная, что это фракталы. Мы подобны одному герою Мольера, который говорил прозой, не зная, что он говорит прозой.
Тем не менее, определить, что такое фрактал, в общем виде довольно трудно. До сих пор не было дано ни одного достаточно хорошего общего определения. Для нашей цели (а это, напомним, культурология) просто перечислим некоторые накопленные к настоящему времени признаки явления и понятия фрактал:
1) как явление фрактал есть нечто, обладающее самоподобием, подобием своих частей целому (в самом грубом виде пример - матрёшка: меньшая куколка вкладывается в большую, большая в еще большую и т. д.: в «негрубом» виде - признак 6 ниже);
2) фрактал есть явление, утверждающее себя (существующее) в динамике (пока матрёшки просто стоят рядом, мы не можем знать, есть ли у них подобие части и целого, это обнаруживается только при вкладывании, т. е. в процессе); фрактал есть процесс;
3) на предыдущем примере видно, что это явление одновременно объективное и субъективное, зависимое от внешнего по отношению к нему субъекта (человека-наблюдателя, измерителя, агенса процесса);
4) свойства такого объективно-субъективного процесса есть одна из характеристик фрактала (например, линия морского берега становится явно тем длиннее, чем более мелкий масштаб используется для ее измерения; только при этом условии обнаруживается и другое свойство фрактала - самоподобие, подобие целого и части, то, что одна и та же форма (изгиб берега) встречается в разных местах в разных размерах);
5) свойства как объективного процесса, так и процесса его измерения зависят от его длительности (времени), они изменяются в пределах от строгой регулярности до хаоса;
6) соответственно, математически они описываются в разных своих точках то действительными числами как линейные процессы на прямой, то комплексными числами не на прямой, а в плоскости; последнее исследуется математикой нелинейных процессов (Б. Мандельброт в одном месте выразился так: «Я заинтересовался фракталами, инвариантными относительно нелинейных преобразований, хотя начинал с «самоподобных» фракталов, инвариантных относительно линейных преобразований»);
7) в компьютерной графике (особенно при использовании цвета) они дают невиданные зрительные образы, в чем-то аналогичные образам в тех течениях искусства, которые получили наименование «Абстракция» [...]
8) фракталы лежат между искусством и наукой, стирая ранее известные границы между ними».
Степанов Ю.С., Протей: очерки хаотической эволюции, М., «Языки славянской культуры», 2004 г., с. 191-192.