Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
Построение научных моделейПостроение научных моделей
ФизикаОткрытия в области физики и применение физических эффектов и моделей в других областях деятельности
X
«Своими успехами ньютоновская механика обязана не только своей способности исключительно точно описывать физический мир, но и обилию порождённых ею математических теорий.
Замечательно, что все ПРЕВОСХОДНЫЕ теории природы оказались весьма щедрыми источниками математических идей. В этом кроется глубокая и прекрасная тайна: все наиболее точные теории в то же время необычайно плодотворны и с точки зрения математики. Не подлежит сомнению, что это свидетельствует о каких-то глубоких связях между реальным окружающим нас миром и платоновским миром математики. […]
В рамках гамильтоновой теории впервые появились «переменные» для описания физической системы. До Гамильтона положения частиц считались первичными, а скорости считались просто быстротой изменения положения частиц во времени.
Напомним, что для задания начального состояния ньютоновской системы нам необходимы положения и скорости всех частиц - только тогда мы можем определить последующее поведение системы. В рамках гамильтоновой формулировки необходимо выбирать импульсы, а не скорости частиц.
Само по себе это нововведение может показаться несущественным, но важно здесь другое: положение и импульс каждой частицы в гамильтоновой формулировке надлежит рассматривать как независимые, более или менее равноправные величины. Тем самым, используя гамильтонову формулировку, мы «делаем вид», что импульсы различных частиц не имеют никакого отношения к быстроте изменения переменных, описывающих их относительное положение, а представляют собой отдельный набор переменных - и, как следствие, мы можем считать импульсы совершенно независимыми от изменения положений движущихся частиц. В гамильтоновой формулировке мы располагаем двумя системами уравнений: одна из них говорит нам о том, как изменяются во времени импульсы различных частиц, другая - о том, как изменяются во времени положения частиц. И в том, и в другом случае быстрота изменений определяется различными положениями и импульсами в рассматриваемый момент времени.
Грубо говоря, первая система гамильтоновых уравнений выражает второй, самый важный закон движения Ньютона (быстрота изменения импульса = силе), тогда как вторая система уравнений Гамильтона говорит нам о том, чему равны импульсы, выраженные в терминах скоростей (быстрота изменения положения = импульс / массу). Напомним, что в формулировках законов движения Галилея-Ньютона использовались ускорения (или быстрота изменения быстроты изменения положения, т. е. уравнения «второго порядка»), тогда как в гамильтоновой формулировке нам достаточно говорить только о быстроте изменения величин (уравнения «первого порядка»). Все гамильтоновы уравнения выводятся всего лишь из одной важной величины: функции Гамильтона Н, представляющую собой полную энергию системы, выраженную в переменных, описывающих положения и импульсы».
Роджер Пенроуз, Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики, «Едиториал УРСС», 2005 г., с. 167-168.
