Списки контрольных вопросов
Стратегия создания эвристических решений за счёт паспортизации и избегания типовых ошибок.
X
Решение нестандартных задач по математике по Дьёрди Пойя
Дьёрдь Пойя опубликовал книгу: Математическое открытие / Mathematical Discovery, где сформулировал ряд эвристических рекомендаций по решению нестандартных математических задач:
«Что такое задача? Слово «задача» мы будем употреблять дальше в весьма широком смысле; поэтому прежде всего уточним, что будет подразумеваться под этим словом. Если одновременно с желанием в моём мозгу сразу же, без какого бы то ни было усилия возникает очевидное средство, с помощью которого, наверное, можно осуществить это желание, то задача не возникает. Если же такого средства нет, то это - задача. Таким образом, задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего средства для достижения ясно видимой, но непосредственно недоступной цели. Решение задачи означает нахождение этого средства. Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.
Классификация задач. Вопрос: «К какому типу относится эта задача?» - ведёт к следующему вопросу: «Что можно предпринять для решения задачи рассматриваемого типа?» Подобные вопросы можно с успехом задавать даже в очень серьёзных исследованиях.
Итак, при решении задач может оказаться полезной их классификация, проведение различия между задачами в соответствии с их типами. Хорошая классификация предполагает разбиение задач на такие типы, что тип задачи предопределяет метод её решения.
Достаточно свободно интерпретируя традицию, восходящую к Евклиду и его комментаторам, мы охарактеризуем здесь только два весьма общих типа задач: задачи на нахождение и задачи на доказательство. Конечной целью задачи на нахождение является нахождение (построение, проведение, получение, отождествление...) некоторого объекта, т.е. неизвестного данной задачи. Конечной целью задачи на доказательство является установление правильности или ложности некоторого утверждения, подтверждение его иди опровержение.
Так, например, когда Вы спрашиваете: «Что он сказал?» - Вы ставите задачу на нахождение. Но когда Вы задаёте вопрос: «Сказал ли он это?» - Вы ставите задачу на доказательство.
Законы открытия?
1. Правила бывают разными. По мере того как работа решателя движется вперёд, внешний вид задачи непрерывно меняется. На каждом новом этапе решатель встречается с новой ситуацией, и снова перед ним встает вопрос о выборе правильного промежуточного решения: как следует поступить в данной ситуации, каким должен быть ближайший шаг? Если он владеет совершенным методом, непогрешимой стратегией решения задач, то он может выбрать следующий шаг при помощи одних лишь рассуждений, исходя из существующей ситуации и руководствуясь строгими законами. Однако универсального и непогрешимого метода решения задач, к сожалению, не существует: строгие правила, приложимые к любым ситуациям, пока не найдены и, по всей вероятности, не будут найдены никогда.
Но правила могут иметь различный характер. Правила поведения, принципы, афоризмы и указания часто бывают достаточно полезными, ни в коей мере не являясь столь же строгими, как правила математики или логики. Математический закон напоминает «длину без ширины», разделяющую чёрное и белое. Однако существуют и вполне разумные правила, которые оставляют некоторую свободу, известное пространство для последующих маневров; здесь нет резкой разграничительной линии, а иногда нет ни чёрного, ни белого, а имеются лишь разные оттенки серого.
По-видимому, должны существовать установки, способы мышления, умственные навыки, полезные во многих ситуациях, возникающих при решении задач, а возможно, и в большинстве таких ситуаций.
2. Рациональность. Решатель должен научиться сохранять равновесие между смутными ощущениями и ясными доводами. Возможно, что это - самое важное из того, чему он должен научиться. Мне кажется, что главное правило, которым здесь должен руководствоваться решатель, можно выразить так: никогда не идите наперекор своим ощущениям, но старайтесь также трезво взвесить все аргументы за и против Ваших планов.
3. Экономия, но без предвзятости. Стремление быть экономным не требует пояснений. Каждому понятно Ваше желание затратить как можно меньше времени, сил и денег при выполнении задания. Самым важным из Ваших активов, видимо, является разум, и сбережение умственных усилий, вероятно, самый важный вид экономии. Не делайте при помощи большего то, что можно сделать при помощи меньшего. Это - основной принцип экономии; мы встречаемся с ним в процессе решения задач, когда пытаемся получить решение, затратив возможно меньше вспомогательных материалов.
Конечно, прежде всего, надо тщательно исследовать саму задачу и непосредственно связанные с ней материалы: естественно начать с попыток отыскания возможности решения задачи без привлечения вспомогательных средств. Если же такой возможности обнаружить не удаётся, то приступают к изучению материалов, которые связаны с задачей менее непосредственно, но всё же близки ей. Если и здесь не находится ничего полезного, то можно перейти к более далёким деталям, однако, - и это является общим принципом, которого желательно придерживаться, - пока есть хоть какая-нибудь надежда решить предложенную задачу, отправляясь от более близких объектов, мы внутренне сопротивляемся тому, чтобы тратить время и усилия на объекты, лежащие от задачи сравнительно далеко. Эта разновидность разумной экономии может быть выражена следующим афоризмом: Держитесь к задаче возможно ближе.
Высшее существо, владеющее совершенным методом, могло бы с уверенностью предсказать протяженность маршрута, который ему придётся проделать, чтобы собрать материалы, необходимые для решения задачи,- но мы этого сделать не можем. В согласии с принципом экономии мы сначала изучаем собственно задачу; если это окажется недостаточным, то исследуем ближайшую её окрестность, Если же и этого окажется мало, то нам придётся продвинуться дальше. Настойчивый решающий должен придерживаться принципа отказа от ограничений, дополняющего принцип экономии: [...] но будьте готовы отойти от задачи настолько далеко, насколько Вас вынуждают обстоятельства.
4. Настойчивость, но и гибкость. Изучая какую-нибудь деталь или какой-либо аспект задачи, решающий, конечно, должен быть настойчив и не должен сдаваться слишком скоро; однако при этом он должен уметь также оценивать свои перспективы и не упорствовать в выжимании апельсина, ранее уже выжатого досуха.
Не бросайте изучаемого вопроса, пока не иссякла надежда на появление какой-нибудь плодотворной мысли.
Чтобы обойти обширную территорию без потерь времени, решающий не должен слишком долго задерживаться на одном и том же месте или слишком быстро возвращаться к нему. Его поиски должны быть разносторонними, на каждом этапе решающий должен стараться увидеть что-то новое: новую деталь, или новую комбинацию уже изученных деталей, или, наконец, уже рассмотренные детали и их комбинации в новом свете. Цель при этом, конечно, состоит в том, чтобы увидеть в новом, более обещающем свете всю задачу в целом. Выражаясь кратко, можно сказать, что необходимым дополнением настойчивости является гибкость. Выше мы утверждали, что при изучении различных вопросов следует проявлять настойчивость. […] но на каждом этапе работы старайтесь охватить ещё не затронутый участок и почерпнуть полезную мысль из того, что вам не пришлось ещё исследовать. Наиболее очевидная опасность, о которой предупреждает этот афоризм, - это отсутствие гибкости и вследствие этого попадание в рутинную колею, т.е. повторение одного и того же приёма снова и снова, без всяких перемен и без какого бы то ни было продвижения вперед.
