Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
Системы приёмовСтратегия создания инноваций / изобретений за счёт использования системы приёмов / эвристик…
X
«Современная эвристика стремится постичь процесс решения проблем, особенно тех мыслительных операций, которые чаще всего оказываются полезными в этом процессе. Свои данные она заимствует из различных источников, ни одним из которых не следует пренебрегать.
При серьёзном изучении эвристики следует учесть как логический, так и психологический её фон, используя высказывания таких старых авторов, как Папп, Декарт, Лейбниц и Больцано, по данному вопросу, и менее всего следует при этом пренебрегать свободным от предубеждений опытом. Эвристика должна строиться как на основе нашего личного опыта в решении задач, так и из наблюдений за тем, как решают задачи другие. Изучая эвристику, не следует пренебрегать ни одним типом задач (проблем); следует обнаруживать то общее, что имеется в подходе к самым различным проблемам, следует стремиться вскрыть то общее, что есть в решении любой проблемы, независимо от их содержания. Изучение эвристики имеет «практические» цели. Лучшее понимание природы мыслительных операций, оказывающихся чаще всего полезными при решении задач, может оказать положительное влияние на преподавание, особенно на преподавание математики.
Данная книга представляет собой первую попытку реализации этой программы.
Укажем, что дают в этом отношении различные статьи нашего словаря.
1. По существу наша таблица содержит перечень мыслительных операций, которые, как правило, полезны при решении всевозможных проблем; вопросы и советы нашей таблицы подсказывают такие операции. Некоторые из этих операций снова описываются во второй главе, а некоторые более подробно разбираются и иллюстрируются в первой главе.
Чтобы получить дополнительные разъяснения по отдельным вопросам и советам таблицы, читателю следует обратиться к тем пятнадцати статьям «Словаря», заголовками которых служат первые предложения пятнадцати абзацев таблицы: «Что неизвестно? Возможно ли удовлетворить условию? Сделай чертёж. Нельзя ли использовать полученный результат?»
Читатель, желая получить разъяснение по какому-нибудь пункту таблицы, должен обратиться к первым словам абзаца, в котором находится этот пункт, и затем найти в словаре статью, заглавием для которой служат эти слова. Например, совет «Вернитесь к определениям» находится в абзаце таблицы, первое предложение которого: «Нельзя ли иначе сформулировать задачу?» В статье под этим названием читатель находит ссылку на другую статью: «Определения», в которой совет, интересующий читателя, объясняется и иллюстрируется примером.
2. Процесс решения задач - процесс сложный и имеет несколько различных аспектов. Двенадцать главных статей данного «Словаря» рассматривают некоторые аспекты более подробно; ниже мы укажем их заглавия.
Когда мы работаем интенсивно, мы чутко реагируем на свои успехи; мы воодушевляемся, когда продвижение идет быстро и успешно; мы угнетены, когда продвигаемся вперед медленно. Что существенно для продвижения и достижения при решении задач? Статья, рассматривающая этот вопрос, часто цитируется в других частях «Словаря» и её следует прочитать одной из первых. Стараясь решить задачу, мы поочередно рассматриваем различные её аспекты, так как в нашей работе очень существенно видоизменение задачи. Мы можем видоизменять задачу разложением и составлением новых комбинаций её элементов - или возвращением к определениям некоторых содержащихся в ней понятий, или же мы можем использовать большие возможности, представляемые нам обобщением, специализацией и аналогией. Видоизменение задачи может привести нас к вспомогательным элементам или к обнаружению более доступной вспомогательной задачи.
Следует чётко различать два типа задач - задача на нахождение и задача на доказательство. Наша таблица специально приспособлена к «задачам на нахождение». Для того чтобы приспособить таблицу к «задачам на доказательство», нам придется пересмотреть её и видоизменить некоторые вопросы и советы. Во всяких проблемах, но в особенности в не очень простых математических задачах, подходящие обозначения и геометрические фигуры оказывают большую, а подчас и незаменимую помощь.
3. Процесс решения задач, имеет много аспектов, но некоторые не рассматриваются в этой книге вовсе, а другие рассматриваются лишь очень кратко. Оправдано, на наш взгляд, исключение из первой небольшой книги об эвристике тех вопросов, которые могут показаться слишком тонкими, или слишком специальными, или чересчур спорными.
Часто важно угадать результат или воспользоваться предварительными, лишь правдоподобными рассуждениями, не смешивая их с окончательными и точными. Этот вопрос затрагивается в разных местах книги, но об эвристическом рассуждении мы смогли включить в данную книгу лишь короткую статью.
Для изучения эвристики большое значение имеет рассмотрение определённых логических схем, но нам показалось благоразумным не вводить никакой узкоспециальной статьи по этому вопросу. Психологическим аспектам посвящены главным образом лишь две статьи: «Настойчивость, надежда, успех» и «Подсознательная работа». Побочно затронута психология животных; смотрите: «Работать от конца к началу».
Мы подчёркиваем, что эвристика охватывает всевозможные задачи, в частности прикладные задачи и даже головоломки. Мы подчёркиваем также, что серьёзное исследование не может ставить своей задачей указать непогрешимые правила, как делать открытия. Эвристика рассматривает поведение человека при решении проблем. Очевидно, этот вопрос занимал людей уже на ранней стадии развития человеческого общества и то, как его понимали в древности, отражено в «Мудрости пословиц».
4. Ряд статей по более общим вопросам изложен более подробно, поскольку эти статьи или некоторые их части могут представлять особый интерес для учителя или учащихся; по тем же соображениям включено также несколько статей по специальным вопросам.
Ряд статей рассматривает методические вопросы, часто имеющие важное значение в элементарной математике; к ним относятся: «Папп, Работать от конца к началу (уже упоминалось в п. 3), Reductio ad absurdum и косвенное доказательство, Индукция и математическая Индукция, Составление уравнений, Проверка по размерности и Зачем нужны доказательства?» Некоторые статьи, как, например. «Типовая задача» и «Диагноз», обращены главным образом к преподавателю, а иные к любознательным учащимся: «Вдумчивый решающий задачу человек», «Вдумчивый читатель» и «Будущий математик».
Следует здесь отметить, что диалоги между учителем и его учащимися, приведенные в пунктах 8, 10, 18, 19, 20 и в различных статьях «Словаря», могут служить образцом не только учителю, который стремится вести за собой класс, но также и работающему самостоятельно. Справедливо рассматривают мышление как «разговор в уме», своего рода беседу думающего с самим собой. Упомянутые диалоги помогают учащимся увидеть свой успех, достигнутый в ходе решения; самостоятельно решающий задачу, рассуждая сам с собой, может добиться успеха тем же путём.
5. Мы не будем указывать названий всех остальных статей, упомянем лишь отдельные группы их. Некоторые статьи содержат замечания по истории эвристики, как-то: Декарт, Лейбниц, Больцано; Эвристика; Термины старые и новые; Папп (последняя статья упоминалась уже в п. 4). Некоторые статьи объясняют специальные термины: Условие, Следствие, Лемма. В нескольких статьях содержатся лишь ссылки на другие статьи (в содержании они отмечены особо).
6. Эвристика ставит себе целью установить общие закономерности тех процессов, которые имеют место при решении всякого рода проблем, независимо от их содержания. В этой книге, однако, мы рассматриваем примеры почти исключительно из элементарной математики. Следует признать, что это суживает рамки наших рассмотрений, но мы полагаем, что такое ограничение не явится серьёзной помехой в исследовании основных идей эвристики. В самом деле, элементарные математические задачи обеспечивают желаемое разнообразие, а изучение процесса их решения доступно каждому и интересно. К тому же мы не забываем о нематематических проблемах, хотя они рассматриваются и реже. Более серьёзные математические задачи в данной книге нигде не приводятся, но по существу именно они составляют подлинный фон изложения. Знаток математики, интересующийся эвристическим исследованием, может без труда добавить примеры из собственного опыта, чтобы уяснить себе вопросы, иллюстрируемые нами лишь на элементарных примерах.
7. Автор желает выразить свою благодарность и чувство признательности некоторым современным авторам, не упомянутым в статье об эвристике - физику и философу Эрнсту Маху, математику Жану Адамару, психологам Вильяму Джеймсу и Вольфгангу Кёлеру».
Дьёрдь Пойа, Как решать задачу, М., «Либроком», 2010 г., с. 181-185.
