Научные теории
Научные концепции, широко применявшиеся за рамками своих наук…
Обучение взрослыхЗакономерности и эффекты качественного (!) обучения студентов и взрослых специалистов. Повышение квалификации
X
Аксиоматическое построение теории по Ричарду Фейнману
«Возможны два взгляда на математику. Для удобства один из них я назову вавилонской традицией, а другой - греческой традицией.
В вавилонских школах математики ученик решал огромное множество примеров, пока не улавливал общего правила. Он подробно знал геометрию, множество свойств круга, теорему Пифагора, формулы для площадей квадратов и треугольников; кроме того, существовали некоторые способы выводить одно из другого. Имелись числовые таблицы, при помощи которых можно было решать сложные уравнения. Всё было подготовлено для того, чтобы производить вычисления.
Но Евклид обнаружил, что все теоремы геометрии можно вывести из нескольких простых аксиом.
Вавилонский подход - я назвал бы его вавилонской математикой - заключается в том, что Вы знаете самые разные теоремы, многие связи между ними, но не осознаёте до конца, что все они могут быть выведены из набора аксиом. Самая же современная математика делает упор на аксиому и доказательства, исходя из очень чётких соглашений о том, что можно и что нельзя считать аксиомами. Современная геометрия берёт аксиомы, подобные евклидовым, но несколько усовершенствованные, и выводит из них всё остальное. Например, такие теоремы, как теорема Пифагора (сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы), не будут аксиомами. Но возможно и другое построение геометрии - так, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора является аксиомой.
Итак, прежде всего мы должны согласиться с тем, что даже в математике можно отправляться от разных исходных положений.
Поскольку все теоремы связаны друг с другом логикой, нельзя сказать, что такие-то утверждения мы считаем основными аксиомами, ибо если вместо них Вам предложат другие аксиомы, то и по ним Вы сможете построить всю геометрию. Это подобно мосту, составленному из одинаковых секций. Если он развалится, Вы можете восстановить его, соединив секции в другом порядке. Сегодняшняя математическая традиция состоит в том, что берут определённые идеи, которые условились считать аксиомами, и, исходя из них, строят всё здание. Если же следовать вавилонской традиции, то мы скажем: «Я знаю то, я знаю это и как будто бы знаю вот это; отсюда я вывожу всё остальное. Может быть, завтра я что-то забуду, но что-то я буду помнить и по этим остаткам смогут восстановить всё заново. Я не очень хорошо знаю, с чего я должен начать и чем кончить. Но в голове у меня всегда достаточно сведений, так что если я забуду часть из них, то всё равно смогу это восстановить».
Доказывая теоремы, невыгодно каждый раз начинать с аксиом. Вы не сильно преуспеете в геометрии, если станете оказывать всякое положение, каждый раз отправляясь от аксиом. Конечно, если Вы располагаете определёнными сведениями в геометрии, то всегда сможете вывести из них кое-что ещё; но гораздо выгоднее поступать иначе. Дорога, которая начинается с выбора наилучших аксиом, не всегда кратчайшая дорога к цели. В физике нам нужен вавилонский метод, а не греческий. Постараюсь объяснить, почему.
При евклидовом подходе наша задача - подобрать как можно более интересные и важные аксиомы. Но относительно тяготения, например, мы могли бы спросить себя: какая аксиома лучше - о том, что сила направлена к центру, или о том, что за равные промежутки времени описываются равные площади?
Если я буду исходить из того, каковы силы, то смогу рассматривать систему, состоящую из многих тел, орбиты которых уже не являются эллипсами, потому что силовая формулировка говорит мне о взаимном притяжении этих тел. В этом случае теорема о равенстве площадей несправедлива. Поэтому мне кажется, что аксиомой должен быть именно закон сил».
Ричард Фейнман, Характер физических законов, М., «Наука», 1987 г., с. 40.
«Формальные знания» и истинное понимание по Ричарду Фейнману
