Математика
Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
Сравнение рядов, закономерностейСравнение рядов, тенденций, закономерностей
X
Открытие дифференциального и интегрального исчислений Готфридом Лейбницем
«И поздней осенью 1675 г. он делает своё великое открытие. Он был подготовлен к нему знанием того, что было сделано его предшественниками в течение столетия, предыдущими собственными результатами и тем сочетанием проницательности, изобретательности и стремления к обобщениям, которое характерно для его мышления.
Не прибегая к математической символике, открытие Лейбница можно описать следующим образом.
Два широких класса задач были предметом исследований и самых выдающихся, и более скромных математиков XVII века. Один из них составлял так называемые квадратуры - задачи на вычисление площадей (отсюда название) со сложными, криволинейными границами, объёмов, центров тяжестей и т.п.
Общим во всех этих задачах было то, что их можно решать по единому плану: сначала, как при приближенном вычислении площади криволинейной фигуры, составлять сумму конечного числа (легко вычисляемых) слагаемых, затем увеличивать число слагаемых до бесконечности (при этом каждое слагаемое неограниченно уменьшается) и таким образом (если удаётся) находить точный результат.
Методы вычисления квадратур предлагались разные, они были приспособлены для решения определённого круга задач или сводились к приему, обеспечивавшему успех только в некоторых случаях. Высоко ценили именно частные методы, которые в подходящих для их применения случаях были действительно весьма целесообразны, а стремление выявить то общее, что было в этих методах, отнюдь не было преобладающим. К тому же, не располагали достаточной системой понятий и обозначений, чтобы удобным образом выразить, математически записать, это общее.
Другой класс задач - задачи на проведение касательных. Чтобы дать правило построения касательной к заданной кривой в определённой точке, надо указать направление касательной. Для окружности, как каждому известно, этот вопрос решается весьма просто, потому что касательная перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
Для некоторых кривых их геометрические свойства тоже позволяют дать удобное правило для построения .касательной. В общем случае касательную получают как предельное положение секущей, проведенной через две точки кривой: например, одну из точек пересечения приближают ко второй, неподвижной; секущая как бы вращается вокруг неподвижной точки, превращаясь, при слиянии обеих точек, в касательную. […]
Таким образом, в общем случае для проведения касательной надо уметь вычислять, во что превратится отношение Ау / Ах, когда Ах стремится к нулю и, вследствие этого, Ау тоже стремится к нулю.
К этой общей схеме сводится не только проведение касательных к кривым линиям, но и решение ряда других геометрических вопросов. Так, в оптике больше интересует проведение нормалей к кривым (перпендикуляров к касательным) и, что равнозначно проведению касательных, определение длин отрезков Na и Та (их называют подкасательной и поднормалью соответственно).
В механике аналогично определяются скорости. Нахождение наибольших и наименьших значений изменяющихся величин математически тоже сводится к аналогичной задаче и т.п.
Всё это знали в XVII веке до Ньютона и Лейбница, умели решать до конца многие задачи этого класса, дошли до понимания того общего, что есть в них, но опять-таки ещё не нашли системы понятий и обозначений для этого общего.
Наконец, была установлена связь между обоими классами задач. Даже вошёл в употребление термин: «обратные задачи на касательные».
Ибо было замечено и понято, что математические приёмы, служащие для решения этих двух классов задач, связаны друг с другом примерно так, как построение сумматорного ряда с построением разностного ряда в случае рядов чисел.
Но это, естественно, не могло быть сразу сформулировано с надлежащей общностью и еще не послужило основанием для объединения методов решения задач обоих классов в нечто единое. Открытие Лейбница состояло в том, что он сумел восполнить все указанные пробелы в математическом анализе XVII века.
Он дал общие схемы решения задач на квадратуры и касательные, введя таким образом в качество самостоятельных операций то, что мы называем интегрированием и дифференцированием. Он показал в достаточно общем виде связь между этими двумя операциями - то, что одна из них является обратной по отношению к другой, примерно так, как вычитание есть операция, обратная сложению. Идя от общего к частному, он установил правила для дифференцирования и интегрирования, вобравшие в себя те приёмы и методы, которые были даны до него. Он придумал целесообразные обозначения для введенных им операций, которыми пользуются поныне. Он стал, таким образом, создателем исчислений, дифференциального и интегрального.
Несколько позже их объединят названием исчисление (или анализ) бесконечно малых. И он мог почти сразу показать, что новые исчисления не только проще приводят к известным результатам, но и облегчают получение новых.
Попутно Лейбниц пришёл к уточнению и расширению такого важного научного понятия, как функция (функциональная зависимость). Общее представление о зависимости одних величин от других - одно из самых давних в науке, в частности, в математике, но долгое время оно оставалось в достаточной мере неопределённым».
Погребысский И.Б., Готфрид Вильгельм Лейбниц, М., «Наука», 2004 г., с. 86-88.
