Элементы и операции симметрии по А.Н. Павлову
«Симметрия - одно из наиболее ярких коренных свойств мироздания, это уравновешенность, сбалансированность и связь систем и миров. Она вездесуща. Достаточно посмотреть на себя. Руки, ноги, глаза, уши, легкие и т.д. - всё продублировано, справа, слева. Больше того, эти дубликаты повторены в миллиардах экземпляров. Подобным примерам нет числа.
Но всё не так просто и категорично. Ведь мир построен на компромиссах. Вернувшись к нашим примерам, мы сразу обнаружим немало подвохов. Сердце, печень, желудок и т. п. - у них нет пар. Он и она? Всё одинаково, кроме половых признаков. Так человек симметричен или нет? Хотя бы человек!
Да, симметричен... почти. Как это понимать «почти симметричен»? Понимать следует просто: он симметричен, но если убрать «почти», то это значит остановить движение, остановить мир, сделать его мёртвым. Потому что мир станет тогда равновесным. К счастью, это не так. Мир не достигает равновесия сразу по всем параметрам.
Наверное, правильно было бы говорить о том, что в мире есть стремление к симметрии как к некоему теоретическому идеалу, как к мифу об идеальной гармонии. В своей голове человек такой идеальный образ симметрии умеет строить. Возьмите всем известный куб – см. рисунок:
У него шесть основных граней (квадратов), 12 рёбер (линии пересечения граней) и восемь вершин (точек пересечения рёбер).
В кристаллографии куб считается самой высокоорганизованной фигурой: он обладает наибольшим числом так называемых элементов симметрии - осей, плоскостей и точкой.
Если проткнуть осями середины граней, то таких осей будет три (по две грани на каждую ось). Они называются осями четвёртого порядка (L4), так как, повернув вокруг них куб четыре раза (каждый поворот на 90°), мы четыре раза совместим его самого с собой, т.е. будем видеть его таким же, как до поворота. По такому же принципу у куба можно обнаружить четыре оси третьего порядка (L3), проходящие через его вершины, и шесть осей второго порядка (L2), каждая из которых проходит через середины двух противоположных рёбер. Кроме того, у куба есть девять плоскостей симметрии (Р), из которых три пересекают рёбра посередине, а шесть проходят через каждые два ребра попарно (диагональные плоскости). Ещё у куба один центр симметрии (С), совпадающий с его серединой. А вот полная запись так называемого вида симметрии куба: 3L4 4L3 6L2 9РС.
Теперь представьте себе, что все грани нашего куба мы окрасили в разные цвета - шесть цветов. Будет ли в этом случае куб кубом с позиции симметрии цвета по отношению к тем же осям, плоскостям и центру. Нет, уже не будет. Вот мы с вами и подошли к тому, чтобы сформулировать и понять симметрию как идею.
1. Любой объект обладает различными свойствами, в которых он может быть описан (параметризирован).
2. С каждым из параметров или группой параметров может быть совершена какая-то операция: перемещение, отражение, поворот и т. д. и т. п.
3. Если после какой-то из операций получают тождественный результат, т. е. объект не отличается от своего начального вида, говорят, что в этих параметрах по отношению к данной операции объект симметричен.
Из такого понимания симметрии вытекают два простых следствия.
1. Можно выбрать любые параметры, характеризующие объект, и подбирать для них операции, которые дали бы тождественный результат.
2. Можно задаться операциями и подбирать параметры, в которых также будет получен тождественный результат.
Иными словами, нет вещей несимметричных. Всё симметрично, но в определённых характеристиках для соответствующих операций преобразования.
Так обстоит дело с теоретической постановкой задачи о симметрии, т.е. об идеальном образе симметрии. Наш пример с кубом - иллюстрация такого образа. Параметры: рёбра, грани и углы. Преобразовательные операции: повороты вокруг осей, отражение в плоскостях и через точку. Смена геометрических параметров на цветовые при сохранении прежних преобразовательных операций эффект симметрии разрушает.
Теперь вернёмся к вопросу о причинах, по которым симметрия реальных объектов лишь похожа на симметрию теоретических образов. Стратегический замысел здесь как будто бы ясен: принципиальная недостижимость равновесия в природе, равновесия как символа всеобщей смерти, неподвижности и конца. Тактических же приёмов для обеспечения недостижимости смерти, по-видимому, бесчисленно много. Попробуем обойтись одним лишь примером. Взгляните на рисунок, на котором показан реальный кристалл пирита в форме куба, и сравните его с геометрическим образом куба на предыдущем рисунке. Они почти совпадают.
Однако куб пирита не так совершенен как его теоретический прототип. Его грани, по выражению кристаллографов, дислоцированы, т.е. как бы попорчены, немного искажены. Это результат условий роста. Заметим, что образ куба свойствен не только пириту, но и многим другим природным минералам, например галиту (поваренной соли - NaCl), галениту (свинцовому блеску - PbS) и др. В то же время отдельные минералы способны походить не на один, а на разные кристаллографические образы. Скажем, этот же пирит может кристаллизоваться в форме октаэдров, пентагондодекаэдров и др. Бывают и смешанные формы. К тому же природные минералы имеют много примесей, что также влияет на формирование их геометрического вида. Например, наш пирит в качестве примесей часто содержит кобальт, никель, мышьяк, сурьму, иногда медь, золото, серебро и др.
