Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
Методология наукиОсновные работы в области методологии науки
Построение научных теорийПостроение научных концепций. теорий, моделей
Построение научных моделейПостроение научных моделей
Принципы запретаПринципы запрета
X
«Ограничительные теоремы - теоремы, которые в отличие от неограничительных, сужают границы действенности теории.
Проиллюстрируем сказанное на примере логики предикатов первого порядка. Чаще других среди «положительных» метатеорем логики предикатов называются следующие. Для логики предикатов существует независимость некоторого множества аксиом (теорема Дж. Маккинси). Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво, т.е. каждая его формула универсально общезначима. Исчисление предикатов также синтаксически непротиворечиво, т.е. нет такой формулы А, что доказуемо и А, и не-А. Всякая общезначимая формула доказуема (теорема о полноте К. Гёделя).
Наряду с неограничительными существует также целый ряд ограничительных теорем первопорядковой логики предикатов. При некоторых условиях, налагаемых на теорию Т, свойство быть истинной формулой теории У не выразимо в Т (теорема А. Тарского). Проще говоря, понятие семантической истины не выразимо в синтаксической теории. С интуитивной точки зрения это вроде бы очевидно, но далеко не очевидно содержание теоремы К. Гёделя о неполноте: если все формулы теории общезначимы, то она неполна, т.е. существует такая формула А, что ни А, ни не-А не доказуемы в Т.
Ещё одна ограничительная формула гласит: исчисление предикатов не является синтаксически полным, т.е. к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой.
Далее. Логика предикатов не является категоричной (теорема Л. Левенгейма и Т. Сколема), т.е. её модели могут быть неизоморфными.
Теорема А. Чёрча: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы логики предикатов решить вопрос, является ли она доказуемой в данной теории.
Наличие как ограничительных, так и неограничительных теорем логики предикатов резко усложняет вопрос с оценкой её статуса. На первый взгляд, кажется, что ограничительные теоремы являются «плохими», а неограничительные «хорошими». Такое мнение поверхностное.
Во-первых, мы вообще не в состоянии правильно оценить статус логики предикатов, которая лишена ограничительных теорем. Во-вторых, ограничительные теоремы не лишены явных достоинств. Так, в прикладной логике очень часто используется неполнота синтаксиса первопорядковой логики: к логическим аксиомам присоединяются нелогические постулаты, не нарушающие синтаксическую непротиворечивость теории. Наличие неполноты синтаксиса логики обеспечивает поле возможностей для перехода от чистой логики к прикладной логике.
Главное достоинство теорем логики, причём как неограничительных, так и ограничительных, состоит в том, что они обрисовывают статус логического языка продуктивным, таким, каким он является в науке и, следовательно, во всей человеческой культуре. Мы должны в полной мере осознать статус и возможности используемого теоретического языка. Иного не дано. Этот вывод относится к любой науке».
Канке В.А., Философия науки: краткий энциклопедический словарь, М., «Омега-Л», 2008 г., с. 174.
