Метатеория, как иерархия теорий по В.Ф. Турчину
«Иерархия теорий. Осознание принципа описания действительности с помощью формализованного языка порождает, как мы видели, эффект лестницы. Вот пример лестницы из трёх ступенек.
Арифметика - это теория, которую мы применяем непосредственно к таким объектам неязыковой реальности, как яблоки, овцы, рубли, килограммы товаров. По отношению к ней школьная алгебра является метатеорией, которая знает лишь одну реальность - числа и числовые равенства, а её буквенный язык - это метаязык по отношению к языку цифр арифметики. Современная аксиоматическая алгебра является метатеорией по отношению к школьной алгебре. Она имеет дело с некоторыми объектами (природа которых не уточняется) и некоторыми операциями над этими объектами (природа операций также не уточняется). Все выводы делаются из свойств операций. В приложениях аксиоматической алгебры к проблемам, сформулированным на языке школьной алгебры, объекты интерпретируются как переменные, а операции - как арифметические действия. Но современная алгебра с не меньшим успехом применяется и к другим ветвям математики, например к анализу или геометрии.
Углублённое изучение математической теории порождает новые математические теории, которые рассматривают исходную теорию в её различных аспектах. Следовательно, каждая из этих теорий в некотором смысле проще (фундаментальнее), чем исходная теория, подобно тому, как исходная теория проще, чем действительность, которую она рассматривает всегда лишь в каком-то одном аспекте. Происходит расщепление моделей, выделение из сложной модели набора более простых моделей. Формально новые теории столь же универсальны, как исходная теория: их можно применять к любым объектам, которые удовлетворяют аксиомам независимо от их природы.
При аксиоматическом подходе различные математические теории образуют, строго говоря, не иерархию по управлению, а иерархию по сложности.
Однако, рассматривая те модели, которые на самом деле выражают законы природы (т. е. используются в приложениях математики), мы видим, что математические теории вполне отчётливо делятся на уровни сообразно характеру объекта, к которому они в действительности применяются. Арифметика и элементарная геометрия непосредственно контактируют с неязыковой действительностью, а какая-нибудь теория групп используется для создания новых физических теорий, из которых извлекаются следствия, выраженные на языке алгебры и анализа, которые затем «доводятся до числа» и только после этого сравниваются с экспериментом. И это распределение теорий по уровням соответствует в целом тому порядку, в котором они возникали исторически, ибо возникали они путём последовательных метасистемных переходов.
Ситуация здесь в сущности такая же, как и в иерархии орудий производства. Ведь и отвёрткой можно при желании ковырять землю. Однако изобретена она была не для того и нужна в действительности лишь тому, у кого есть винты, болты или шурупы. Теорию групп можно иллюстрировать простыми примерами из обыденной жизни или элементарной математики, но по-настоящему её используют лишь математики и физики-теоретики. Продавцу в магазине или инженеру-практику теория групп нужна не больше, чем отвёртка первобытному человеку».
Турчин В.Ф., Феномен науки: Кибернетический подход к эволюции, М., «ЭТС», 2000 г., с. 287-288.
