Построение научных концепций. теорий, моделей
Построение научных моделейПостроение научных моделей
КомбинаторикаСтратегия создания инноваций за счёт использования типовых решений и их комбинаций
X
Свою задачу Лейбниц видел в том, чтобы реформировать луллиевскую комбинаторику, не только снабдив её более совершенным математическим аппаратом, но и придав ей характер строгого философского знания. Сущность лейбницевского метода заключалась в следующем.
Все понятия делятся на классы. В первый класс входят простые понятия, схватываемые либо через определения, либо через аналогию. Согласно Лейбницу, этот класс составляют «не только вещи, но также состояния (modi) и отношения (respectus)». Эти элементарные понятия должны быть помечены определёнными знаками, лучше всего - пронумерованы. Во второй класс входят понятия, полученные в результате комбинаций двух понятий первого класса. Третий класс составляют понятия, полученные в результате комбинаций трех понятий (Лейбниц называет это контернацией) первого класса, и так далее. Таким образом, каждое сложное понятие может быть записано в виде формулы, представляющей собой его определение. В целях упрощения этой записи Лейбниц прибегает к форме дроби, где числитель соответствует определённому порядковому номеру простого термина, а знаменатель представляет экспоненту, обозначающую общее число простых терминов, входящих в комплексию, то есть указывает на порядок класса. (Понятия комплексии и экспоненты, а также другая терминология комбинаторного метода вводятся Лейбницем в главе «Определения», вошедшей в состав «Арифметического диспута»). Например, запись 1/2 будет обозначать первый термин второго класса, 2/3 - второй термин третьего класса, и так далее.
При помощи этого метода Лейбниц предполагает возможным определение производных понятий через простые, входящие в него в качестве множителей, точно так же как, например, число 210 может быть представлено в виде произведения чисел натурального ряда 2, 3, 5, 7.
Соответственно, этот метод позволяет найти (логически) все предикаты к заданному субъекту. Действительно, множители записанного в виде дроби понятия как раз и будут представлять собой его предикаты, так как они выражают, все вместе и каждый в отдельности, характеры или качества, входящие в определение понятия. Каждый из этих множителей может быть приписан заданному субъекту, точно так же и каждый, полученный за счёт дальнейших комбинаций простых множителей. Лейбниц также приводит формулу, согласно которой может быть найдено общее число всех возможных предикатов.
Если субъект S составлен из простых понятий, число которых равно к, то ему можно приписывать как предикат любую возможную комбинацию из к элементов, то есть 2к - 1 предикатов. Обратная задача - найти все возможные субъекты для данного предиката - сводится к следующему: необходимо найти все комбинации, содержащиеся в некой данной комбинации. Эти инвариантные элементы в искомых комбинациях и есть то, что Лейбниц называет caput. Если к - число простых понятий, из которых составлен данный предикат, n - число всех имеющихся простых понятий, то число искомых комбинаций, могущих выступать в качестве субъектов, равно 2n-к - 1.
Впоследствии Лейбниц признавал, что математическая ценность его юношеского трактата о комбинаторике невелика. Однако следует учитывать, что это сочинение занимает важнейшее место в формировании философских воззрений Лейбница, которые он развивал и разрабатывал в течение всей жизни. Здесь можно найти первые подступы к учению об универсальной характеристике, или логической алгебре, которая предполагает замещение понятий комбинациями знаков, и, соответственно, предложений - отношениями между этими знаками. Сведя суждение к исчислению, Лейбниц полагает найденный метод универсальным и безошибочным, позволяющим одновременно и устанавливать истинность уже известных высказываний, и производить новые.
«В философии, - писал Лейбниц в третьем письме герцогу Брауншвейгскому и Люнебургскому Иоганну Фридриху, - я нашёл средство осуществить во всех науках то, что Картезий и прочие сделали посредством алгебры и анализа в арифметике и геометрии, с помощью искусства комбинаторики, каковое Луллий и Кирхер хотя и усердно взлелеяли, но далеко не уяснили самую его глубинную сущность. С его помощью пролагается путь к тому, чтобы все сложные понятия всего мира свести к нескольким простым как их алфавиту, а затем из этого комбинаторного алфавита со временем вновь найти все вещи, вкупе с их теоремами, и все, что в отношении их еще может быть изобретено, при помощи правильного метода. Каковое изобретение, поскольку оно, если того Бог пожелает, будет осуществлено, почитается мною за наиважнейшее как мать всех изобретений, хотя в настоящее время оно таким и не кажется. Я уже нашёл с его помощью всё, что должно быть исчислено, и надеюсь дать ход также и многому другому»
Осминская Н. А., Математика и метафизика в «Диссертации о комбинаторном искусстве» Г.В. Лейбница, журнал «Вопросы философии», 2011 г., N 2, с.153-154 и 156-157.
