Математика
Математические открытия; а также математические идеи, используемые в других областях деятельности
Энциклопедии, базы данныхЭнциклопедии, базы данных, базы знаний
X
Методы и алгоритмы Фибоначчи
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) собрал и изложил накопленные к его времени математические знания в Книге абака / Liber abaci. Эта книга – учебник. В ней подробно разъяснялись не только основы науки о числах и действиях над ними, но и начала алгебры.
Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII-X книгах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. […] В XIV главе Леонардо Пизанский на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. В XV главе собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и значительное число примеров на квадратные уравнения.
Само изложение в книге было чисто словесным, лишённым привычных для современного читателя формул, а решение многочисленных примеров и задач сводилось к описанию действий, которые следовало применить в той или иной конкретной ситуации, что сделало книгу доступной купцам, счетоводам, продавцам, чиновникам и т.д. Недаром в предисловии автор отмечал, что написал свой труд, дабы «род латинян» не прибывал более в незнании излагаемых в нём вещей...
«В начале своей книги Фибоначчи представляет число в римском написании, демонстрируя, что оно может быть написано многими различными способами. Давайте решим пример, наш собственный: число 1999. Это число может быть записано как mcmiil, mcmic, mdccccic, mim и различными другими способами. Последний из этих вариантов является наиболее экономной формой и, соответственно, может быть выбран. Тем не менее, очевидно, что запись не является определённой. Следуя арабам, Фибоначчи ввёл десять символов, от 0 до 9. В двух случаях (для 0 и 9) он позаимствовал символы непосредственно из ранней версии арабской нумерации. Для остальных он создал свои собственные символы, придерживаясь примерно следующего правила: представляемая величина должна быть пропорциональна количеству прямых линий в символе. Так, 2 и 3 состоят из двух и трех горизонтальных линий соответственно с небольшими соединениями. Хотя символы Фибоначчи были навеяны символами, используемыми арабами, сейчас между двумя наборами символов можно найти очень мало сходных признаков. Символ 1 одинаков, а вот 2 и 3 в арабской системе, если их повернуть на 90 градусов против часовой стрелки, напоминают символы Фибоначчи и те, которыми мы с тех пор пользуемся […]
Также, следуя арабам, Фибоначчи ввёл понятие веса разряда. Каждая позиция представляет различную степень десяти, и все они располагаются в возрастающем порядке справа налево. Каждая позиция имеет степень и часто используется как множитель».
Аталай Бюлент, Математика и «Мона Лиза», Искусство и наука в творчестве Леонардо да Винчи, М., «Техносфера», 2007 г., с. 49-51.
«Все её пятнадцать глав были написаны от руки - ведь до изобретения книгопечатания оставалось почти триста лет. Её автору Леонардо Пизано было всего 27 лет, и он был очень удачливым человеком: его книга получила одобрение самого императора Священной Римской империи Фридриха II. О лучшем нельзя и мечтать. […] Фибоначчи был подвигнут к написанию «Liber Abaci» во время визита в Багио, процветающий алжирский город, где его отец пребывал в качестве пизанского консула. Там он столкнулся с чудесами индо-арабской системы счисления, перенесённой арабскими математиками на Запад во время крестовых походов. Ознакомившись со всеми вычислениями, выполняемыми в рамках этой системы, которые даже не снились математикам, использовавшим римскую систему счисления, он постарался изучить её как можно более досконально. Чтобы поучиться у арабских математиков, живших по берегам Средиземного моря, он предпринял путешествие в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс. В результате появилась книга, необычная со всех точек зрения. «Liber Abaci» открыла европейцам новый мир, в котором для представления чисел вместо букв, применяемых в еврейской, греческой и римской системах счисления, использовались цифры. Книга быстро привлекла внимание математиков как в Италии, так и по всей Европе. […]
Каким бы остроумным и оригинальным ни было содержание книги Фибоначчи, она наверняка не смогла бы привлечь к себе много внимания за пределами узкого круга знатоков математики, если бы в ней излагались только теоретические вопросы. Огромный успех книги объяснялся тем, что Фибоначчи насытил её примерами практического применения изложенных в ней методов. Там, в частности, описаны и проиллюстрированы примерами многие новшества, которые благодаря новой системе счисления удалось применить в бухгалтерских расчётах, таких, как представление размера прибыли, операций с обменом денег, конвертацией мер и весов и, хотя ростовщичество было ещё запрещено во многих местах, исчисления процентных выплат.
Фибоначчи широко известен и благодаря короткому отрывку из «Liber Abaci», содержание которого производит впечатление математического чуда. В отрывке обсуждается задача о том, сколько кроликов родится в течение года от одной пары кроликов в предположении, что каждый месяц каждая пара рождает другую пару и что кролики начинают рожать с двухмесячного возраста. Фибоначчи доказывает, что в этом случае потомство исходной пары к концу года достигнет 233 пар.
Дальше он утверждает нечто ещё более интересное. Предположим, что первая пара кроликов не будет размножаться до второго месяца, К четвертому месяцу начнут размножаться их первые двое отпрысков. Коль скоро процесс продолжится, числа пар в конце каждого месяца будут такими: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Здесь каждое последующее число является суммой двух предыдущих. Если кролики продолжат в том же духе в течение ста месяцев, число пар достигнет 354 224 848 179 261 915 075.
Этим не исчерпываются изумительные свойства чисел Фибоначчи. Разделим каждое из них на следующее за ним. Начиная с 3, будем получать 0,625. После 89 ответ будет 0,618; с увеличением чисел в ответе будет возрастать лишь число десятичных знаков после запятой. Разделим теперь каждое число, начиная с 2, на предыдущее. Будем получать 1,6. После 144 ответ будет всегда 1,618.
Греки знали это соотношение и называли его золотой пропорцией. Эта величина определяет пропорции Пантеона, игральных карт и кредитных карточек и здания Генеральной Ассамблеи Организации Объединенных Наций в Нью-Йорке. Горизонтальная перекладина большинства христианских крестов делит вертикальную в том же отношении: длина над перекладиной составляет 61,8% от длины под пересечением. Золотая пропорция обнаруживается также в природных явлениях - в цветочных лепестках, в листьях артишока, в черешках пальмовых листьев. Отношение длины части тела человека выше пупка к длине части ниже пупка у нормально сложенного человека равно 0,618. Длина фаланг пальцев, если последовательно идти от кончиков до ладони, соотносится так же».
П. Бернстайн, Против богов: укрощение риска, М., «Олимп-Бизнес», 2006 г., с.41-XLV.
