Анализ логистических кривых по Даниелу Беллу
«Любой экспоненциальный рост в каком-то пункте замедляется и прекращается, в противном случае он стал бы абсурдным.
Например, данные по электротехнической промышленности показывают, что, начав анализ с единственного человека и с 1750 года - времени экспериментов Б. Франклина с электрическими разрядами, - экспоненциальный рост приведёт нас к цифре в 200 тыс. человек, занятых в отрасли в 1925 году, и к миллиону в 1955-м; если рост продолжался бы теми же темпами, то уже к 1990 году всё работающее население страны было бы занято в одной этой отрасли. Однако в определённом пункте неизбежно достигается насыщение, и происходит замедление роста.
При измерении роста знания, как и в других областях, где имеют место подобные процессы, вопрос заключается в том, каким образом определить это состояние насыщения и оценить срок его наступления.
Описанная выше экспоненциальная модель, предполагающая достижение некоего потолка, представляет собой сигмоиду, или S-образную кривую, на которой темпы изменения ниже и выше её середины часто бывают совершенно симметричными. Поскольку это так, легко строить прогноз исходя из того, что темпы изменения выше срединной точки будут соответствовать темпам ниже её, после чего окончательно затухнут. Именно красота этой кривой вызывает у многих статистиков соблазн считать её «философским камнем», дающим понимание человеческого поведения.
Феномен насыщения применительно к общему закону народонаселения был впервые предложен в 30-х годах XIX столетия статистиком А. Кетле, основоположником социальной физики, в качестве реакции на теорию Т.Р. Мальтуса. По его мнению, типичная модель роста населения предполагает медленное повышение от асимптотического минимума, переходящее в быстрое многократное увеличение, после чего рост замедляется и продолжается до слабовыраженного асимптотического максимума; в своём движении кривая проходит через пункт изгиба и приобретает S-образную форму.
В 1838 году коллега А. Кетле математик П.Ф. Верхальст попытался придать этому общему выводу форму, позволяющую превратить кривую Мальтуса, выражающую геометрическую прогрессию, в S-образную, или, как он её называл, логистическую кривую, которая выражала бы истинный «закон народонаселения» и показывала предел, сверх которого его рост был бы маловероятен.
П.Ф. Верхальст предполагал ряд допущений, а именно: темпы роста не могут быть постоянными; они должны находится в линейной зависимости от народонаселения, имеющегося на данный момент; в какой-то точке рост замедляется, иначе говоря, наступает насыщение, причём замедление это тем выраженное, чем выше численность населения. Таким образом, факторы роста и торможения взаимно пропорциональны, ввиду чего, благодаря «симметрии» кривой, можно предугадывать и прогнозировать будущее.
В 1924 голу биолог и математик Р. Перл, ознакомившись с трудами П.Ф. Верхальста, сформулировал закон Верхальста-Перла. Стремясь получить S-образную кривую роста народонаселения, он установил, что темпы роста зависят от численности населения в конкретный момент и от наличия «неиспользованных резервов жизнеобеспечения населения», (в первую очередь) в виде невозделанных земель.
Ранее Р. Перл сформулировал уравнения, описывающие рост популяции фруктовых мух в закрытой среде, и в 1925 году на базе подобных же уравнений он сделал прогноз, согласно которому население Соединенных Штатов в 1950 году должно было составить 148,7 млн. человек, а в 1960 году - 159,2 млн. Прогноз на 1950 год отклонился от реальных данных в пределах 3 млн. человек, но прогноз на 1960 год был превышен уже более чем на 25 млн. Оценка Р. Перлом верхнего предела населения Соединенных Штатов в 197 млн. человек была превзойдена уже в нашем десятилетии, а к 2000 году население страны вполне может составить 275 млн. человек.
Ключевой проблемой анализа, основанного на использовании S-образной кривой, является то, что он применим только либо к «закрытой системе», либо базирующейся на фиксированных ресурсах, подчиняющихся физическим законам, либо предполагающей некие безусловные допущения. Говоря другими словами, «условия потолка» вызывают выравнивание кривой.
Поскольку человеческое сообщество не является «закрытой системой», при использовании логистических кривых для прогнозирования его развития всегда существует риск ошибки. Однако применение такой модели в качестве «базовой линии» или гипотезы, на основе которой проверяется социальная действительность, имеет определённую ценность. Покойный Л. Райденур, бывший главный научный специалист военно-воздушных сил США, который первым прокомментировал данные Ф. Райдера (в 1951 году в статье, опубликованной в сборнике «Библиография в эру науки»), отметил, что феномен темпов удвоения университетских библиотек можно наблюдать также в росте активов страховых компаний, количества междугородных телефонных и радиотелефонных разговоров, сокращении времени кругосветного путешествия, увеличении веса гражданских самолётов, пассажиро-километров перевозок, числе зарегистрированных легковых автомобилей и т.д. Считая закон экспоненциального роста экспериментально доказанным, он утверждал, что существует «закон социального изменения», сходный с «самоподдерживающимся процессом», таким, как химическая реакция или рост клетки, описанные в химии и биологии.
Стремясь найти этому объяснение, Л. Райденур утверждал также, что темпы принятия членами общества нового продукта или услуги (таких, как междугородные телефонные переговоры или пользование пассажирским авиатранспортом) пропорциональны количеству людей, которым о них известно.
Поскольку в каком-то пункте должно наступить насыщение, Л. Райденур, как и П.Ф. Верхальст, предлагал дифференциальное уравнение для определения темпов замедления, обнаруживающегося тогда, когда кривая начинает приближаться к абсолютному верхнему пределу.
Проблема предложенного Л. Райденуром «закона социального изменения» состоит в том, что подобные кривые могут быть построены только для одной переменной и заранее предполагают насыщение. Однако то, что верно для бобов, дрожжей, мух и подобных им организмов, рост которых в фиксированной экологической среде точно отображается данной кривой, может и не иметь силы для социальных ситуаций, где решения порой откладываются (как в случае с рождением детей) или где возможны замены (например, использование автобусов и метро вместо легковых автомобилей), в результате чего рост не происходит строго фиксированным, «имманентным» образом. По этой причине использование логистических кривых может ввести в заблуждение.
Однако одно преимущество этого метода в любом случае остается: использование математического языка часто позволяет обнаружить идентичные основы самых разных явлений. Вряд ли кто-нибудь считает, что вступление людей в брак и обзаведение детьми суть явления того же рода, что и замена основного оборудования на предприятии, но тем не менее английский экономист из Кембриджа Р. Стоун нашёл точную математическую аналогию между ними. Он обнаружил такое же поразительное сходство между эпидемиями и спросом на образование. При вычерчивании кривой, отражающей спрос на образование, неприемлемость простой экстраполяции прежних тенденций очевидна, поскольку, как мы видели, в каком-то пункте система «взрывается» и в тенденции происходит скачкообразное изменение. (Так, если спроецировать спрос американцев на университетское образование на базе тенденций 50-х годов, то получится, что только к 1975 году 40 процентов лиц из возрастной группы от 18 до 22 лет должны были обучаться в колледжах; между тем фактически эта цифра была достигнута уже в 1965 году.) Р.Стоун полагает, что рост спроса на высшее образование можно рассматривать как «эпидемический процесс»: «На каждом этапе количество лиц, инфицированных или решающих поступить в университет, частично зависит от количества тех, кто уже был инфицирован ранее или уже поступил в вуз».
Но со временем такая «зараза» распространяется все шире и шире до тех пор, пока все, восприимчивые к ней, не окажутся инфицированы. Эта модель описывается дифференциальным уравнением, решение которого также имеет вид S-образной, или логистической, кривой.
Множество сложных проблем возникает даже тогда, когда анализ с применением логистической кривой используется не для составления реальных прогнозов, а как модель, подчеркивающая уже известную трендовую линию.