Списки контрольных вопросов
Стратегия создания эвристических решений за счёт паспортизации и избегания типовых ошибок.
X
Решение нестандартных задач по математике Дьёрди Пойя [продолжение]
5. Правила предпочтения. Если к одной и той же задаче имеются два подхода, кажущихся одинаково перспективными во всех отношениях, за исключением того, что один из них легче другого, то естественно сперва испробовать более лёгкий подход. Правило предпочтения можно сформулировать так: Более лёгкое предваряет более трудное.
Однако подобная формулировка делает это утверждение неполным. Нам следовало бы добавить к нему в качестве ограничения или оговорки слова «ceteris paribus» - «при прочих равных условиях». Заметим по этому поводу, что, хотя это существенное ограничение и не высказано нами явно, оно должно подразумеваться и здесь и во всех последующих, аналогично формулируемых, правилах предпочтения. Ниже приводятся ещё два столь же очевидных правила этого рода:
Более знакомое предваряет менее знакомое. Объект, имеющий больше точек соприкосновения с рассматриваемой задачей, предваряет объект, имеющий меньше таких точек. Имеются и другие менее очевидные, не столь общие и более специфические правила предпочтения. Надо предварительно классифицировать объекты, к которым они относятся. Вот одна из таких классификаций, может быть и неполная, но такая, что под нее довольно естественно подпадает большинство заслуживающих внимания случаев:
1). Части задачи.
2). Полезные сведения.
3). Вспомогательные задачи.
В трёх ближайших параграфах мы рассмотрим правила предпочтения, соответствующие этой классификации.
6. Части задачи. Приступая к решению задачи, Вы ещё не знаете, какие из её деталей окажутся наиболее важными. Возникающая отсюда опасность состоит в том, что можно слишком увлечься какой-либо маловажной деталью, после чего от неё трудно отойти. Поэтому начинайте с изучения задачи в целом, не отвлекайтесь деталями, предоставьте задаче, понимаемой как единая постройка, занимать Ваши мысли до тех пор, пока Вы полностью не разберётесь в сути дела, не поймёте стоящей перед Вами цели.
Целое предваряет части. Когда у Вас создастся впечатление, что изучение задачи в целом больше не приносит пользы, и Вы найдёте нужным перейти к более детальным рассмотрениям, заметьте, что существует нечто вроде иерархии деталей. К высшей категории, ближайшей к «стержню» задачи, относятся главные части. Естественно начинать подробное изучение задачи с главных частей.
Главные части предваряют прочие части. Вслед за главными частями Вашего внимания заслуживают части, на которые они подразделяются: можно изучать в отдельности каждое из данных, каждое из неизвестных, каждый из пунктов условия, каждое из предположений в предпоссылке, каждое из утверждений в заключении. Все прочие детали задачи можно считать более удалёнными от её стержня, чем главные части, которые составляют высшую категорию, и чем их подразделения, которые составляют следующую категорию. Старайтесь не отдаляться от стержня задачи дальше, чем это необходимо. При прочих равных условиях (эту оговорку мы всегда делаем). Более близкие части предваряют более далекие.
7. Полезные сведения. Как мы уже неоднократно упоминали, одним из самых важных действий (возможно, самым важным действием) решающего являются мобилизация необходимых элементов из своего запаса знаний и увязка их с элементами задачи. Эта работа может вестись им «изнутри» и «извне». Он может раскрывать задачу, добросовестно исследовать различные её части в надежде, что такое исследование поможет извлечь какие-нибудь полезные сведения, оставаясь при этом внутри задачи; но он может подходить к своей задаче также извне, странствуя по различным областям накопленных им знаний и выискивая там полезные сведения. Каждый элемент знания или опыта, полученный нами в прошлом, может быть полезным для решения данной конкретной задачи; однако ясно, что невозможно пункт за пунктом обозреть все имеющиеся у нас знания и воскресить в памяти весь наш прошлый опыт. Даже если перед нами математическая задача и речь идёт только о той сравнительно ясной и хорошо упорядоченной области знаний, которая складывается из ранее решенных задач и ранее доказанных теорем, относящихся к одной определённой ветви математики, то и здесь невозможно предпринять изучение всего относящегося к задаче материала, рассматривая друг за другом каждый объект. Нам приходится себя ограничивать, выбирать такие пункты, которые имеют больше всего шансов оказаться полезными.
Например, перед нами задача на доказательство. Мы только что рассмотрели её главные части: неизвестное, данные и условие - и вот теперь роемся в памяти в поисках какой-нибудь ранее решённой задачи, которая могла бы оказаться полезной. Естественно иметь при этом в виду такую задачу, у которой есть что-нибудь общее с рассматриваемой задачей, например: неизвестное или одно из неизвестных, вся совокупность данных или какое-нибудь одно из них, некоторое существенно входящее понятие и т.д. Имеется вероятность - большая или меньшая, - что любая такая ранее решенная задача может оказаться полезной, но перебрать их все мы не в состоянии. Однако среди всех возможных точек соприкосновения между рассматриваемой и ранее решённой задачами имеется такая, которая заслуживает большего внимания, чем остальные, - это неизвестное. (Особенно нужно стремиться использовать какую-нибудь ранее решённую задачу с таким же неизвестным, как и у данной, чтобы использовать её в качестве отправного пункта для развёртывания решения в обратном направлении или для работы от конца к началу.) Конечно, в некоторых специальных случаях можно предпочесть другие контакты, но, вообще говоря, a priori, при прочих равных условиях, прежде всего, смотрите на неизвестное.
Ранее решённые задачи с тем же неизвестным, что и в рассматриваемой задаче, предваряют прочие ранее решённые задачи.
8. Вспомогательные задачи. Один из наиболее критических моментов, с которым сталкивается решающий при решении задач, - это выбор подходящей вспомогательной задачи. Он может искать такую задачу, двигаясь изнутри или же извне стоящей перед ним задачи или (что часто оказывается наиболее разумной процедурой) двигаясь попеременно то изнутри, то извне. Определённые типы вспомогательных задач, при прочих равных условиях, имеют больше шансов быть полезными, чем другие.
Вспомогательная задача может продвинуть решение предложенной задачи неисчерпаемым множеством способов; она может, например, оказать существенную (так сказать, материальную) помощь, методическую помощь, может иметь стимулирующее влияние, служить руководством или примером или всего лишь доставить решающему полезную практику. Однако какой бы вид помощи мы ни искали, a priori имеется больше шансов получить её от вспомогательной задачи, более непосредственно или тесно связанной с рассматриваемой задачей, чем от задачи, связанной с ней менее тесно.
Задачи, эквивалентные предложенной задаче, предваряют другие задачи, сводимые к данной или охватывающие данную, а эти последние предваряют все прочие задачи».
Дьёрдь Пойа, Эвристические приёмы в решении математических задач, в Сб.: Психология мышления / Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер и др., М., «Аст»; «Астрель», 2008 г., с. 462-467.
