Нежелательные характеристики аксиом научной теории по Марио Бунге
«Итак, нами было отмечено пять желательных характеристик физической системы аксиом.
Упомянем теперь о нежелательных. Одна из таких характеристик, а именно полнота в сильном смысле, уже упоминалась.
Родственным свойством является свойство категоричности или, скорее, жёсткости, негибкости.
Категоричной теорией является такая, для которой любые две модели (истинные интерпретации) лежащего в её основе абстрактного формализма являются изоморфными (структурно тождественными).
Далее, необходимое условие изоморфизма заключается во взаимооднозначном соответствии между подобными множествами. Но такая жёсткость в физике нам не нужна. Например, даже если две теории имеют формально тождественные исходные формулы (например, волновые уравнения), они, тем не менее, вполне могут относиться к совершенно различным видам физических систем, которые, будучи концептуализированы, не обязательно должны быть подобными.
Что можно сказать о простоте, в частности формальной простоте, или экономии формы? Обычно утверждают, что любая теория должна иметь максимум формальной простоты в смысле минимально возможного числа первичных понятии и аксиом. Однако это требование необходимо ограничить и дополнить условием, что минимизация основных идей (первичных понятий и аксиом) должна быть совместима и со слабой дедуктивной полнотой первичных понятий. Иначе упрощение может увести нас слишком далеко от истины. Во всяком случае, то, к чему мы стремимся, должно иметь оправдание, а никакого разумного оправдания для формальной простоты пока не дано, за исключением того, что она удобна.
Тем не менее, можно видеть одно из таких оправданий в том, что простота уменьшает возможность ошибки, и в частности скрытого противоречия. Так, например, если мы можем вывести основные законы поля только из вариационного принципа (дополняемого математическим и семантическим обрамлением), то едва ли мы столкнемся с проблемой непротиворечивости (точнее говоря, бремя доказательства непротиворечивости будет переложено на плечи математика). Но если это так, то, значит, простота сама по себе не может быть целью. Что касается других видов простоты - семантической, эпистемологической, методологической и прагматической, то они могут от случая к случаю иметь ценность, до тех пор пока они не вступают в конфликт с другими желательными характеристиками теории, главным образом с непротиворечивостью и слабой дедуктивной полнотой, которая включает и максимальную истинность.
В конце концов, цель научного исследования не в угождении философским предрассудкам, таким, как, упрощение или неприязнь к теориям, а в стремлении понять вещи такими, какие они есть на самом деле, даже если эти вещи упорно придерживаются своей вредной привычки быть, как правило, гораздо сложнее, чем нами предполагалось первоначально.
При любых обстоятельствах число первичных понятий теории не может быть произвольно сокращено из-за угрозы довести улучшение теории этим методом до её полной бесполезности.
Минимальный элементарный базис качественной физической теории построен из двух понятий: класса референтов (множества физических сущностей, которые описывает теория), а также ещё одного члена, который мог бы быть отношением или операцией на множестве, например физическим сложением или наложением двух произвольных элементов этого множества.
В противном случае теория не могла бы содержать утверждения о законе, например о коммутативности физического сложения. Количественная теория требует по меньшей мере трёх первичных понятий: класса референтов и ещё двух других, которыми могут быть дополнительное множество и числовая функция от топологического произведения этих двух множеств. Например, относительно простейшей количественной формулы мы можем полагать, что она имеет следующий вид:
dP/dt = О,
где Р символизирует некоторое свойство и является действительной функцией от (знак суммы) Х Т, причем (знак суммы) будет множеством референтов, а Т - множеством моментов времени.
Итак, любая теория с двумя первичными понятиями нуждается по крайней мере в пяти аксиомах: одном физическом предположении относительно двух первичных понятий и двух нефизических (математических или семантических) предположениях для каждого первичного понятия, а также одной математической и одной семантической аксиоме. Вообще, N первичных понятий требуют минимум 2N + 1 аксиом. Существует минимум простоты: обычно невозможно сжать все математические свойства некоторого понятия в одном-единственном утверждении, если, конечно, не прибегать к трюку соединения нескольких аксиом. […]
Не удивительно тогда, что даже элементарная теория, такая, как ньютонова механика материальной точки, которая имеет восемь независимых основных специфических понятий, должна была содержать более двух дюжин аксиом, когда их все удалось выписать по отдельности».
Марио Бунге, Философия физики, М., «Прогресс», 1975 г., с. 234-236.
