Проверка системы аксиом научной теории по Марио Бунге
«Рассмотрим, какие свойства может иметь система аксиом, и попытаемся выяснить, какие из них желательны в физике и почему.
(i) Формальная непротиворечивость: система аксиом должна быть свободна от противоречий. В противном случае из неё будет следовать любое возможное утверждение, и поэтому её можно использовать для доказательства всего, что угодно.
В самом деле, из логической ложности следует всё что угодно: если А ложно, тогда А => В будет логически истинным для всякого В. Поэтому, согласно определению импликации, из А будет следовать В, что бы В и ни означало.
Каждый согласится, что условие формальной непротиворечивости является первейшим требованием рациональности, и поэтому данному условию должна удовлетворять всякая теория. Тем не менее, это условие часто нарушается. Так, широко распространено мнение, что теория поля может получить физическое значение только с помощью фикции пассивного пробного тела, которое должно дать возможность «операционального определения» напряжённости поля. В то же время признано, что пробное тело, которое само не воздействует на поле, не может удовлетворять уравнениям ноля, а в случае поля излучения, свободного от вещества, пробное тело тем более выглядит очень странно. Ясно также, что функция пробного тела состоит не в том, чтобы обеспечить теорию ноля значением, а в лучшем случае в том, чтобы проверить её. Но и это является фикцией, поскольку любой реальный инструмент для измерения куда более сложен, чем мифическое пробное тело, пассивно движущееся вдоль силовой линии. В действительности же напряжённости поля (или соответствующие потенциалы) вводятся не путём дефиниций, а с помощью аксиом. Нечто подобное случается всегда, когда пытаются определять физические значения в духе операционализма. В этих случаях происходит обычная путаница между референтом данной теории и методом её проверки. При этом внимание переключается с объекта, или референта, теории на не относящиеся в данном случае к делу (иначе говоря, слишком конкретные) инструменты, которые якобы описываются данной теорией. Истина же состоит в том, что объяснение всякой реальной экспериментальной установки всегда основано на совокупности теорий […]
(ii) Дедуктивная полнота: система аксиом должна содержать (как аксиомы) или получать в качестве вывода (как теоремы) все известные утверждения о законах из области, которую должна охватывать данная теория, например, уравнения движения, и/или уравнения поля, и/или уравнения состояния. Дедуктивная полнота обеспечивает максимальную степень истинности. В самом деле, утверждения о законах в любой области являются наилучшими из имеющихся способов концептуализации объективных структур, с которыми теория имеет дело. И в этом контексте «наилучшие» означает «наиболее истинные». Если некоторая система аксиом не охватывает какое-либо утверждение о законе в данной области, то её нужно пополнить, либо добавив указанное утверждение в качестве ещё одной аксиомы, либо усилив некоторые из уже имеющихся аксиом так, чтобы можно было это утверждение получить как их следствие. Требование (слабой) дедуктивной полноты вполне оправданно, но выполнить его весьма трудно. Однако оно должно по крайней мере осознаваться как высшая цель аксиоматизации. Не так обстоит дело с системой аксиом для квантовой механики, которая формулируется математиками: им часто не удаётся включить в неё общее уравнение Шредингера или его эквивалент, и поэтому их система аксиом не позволяет что-нибудь предсказать. Было бы ошибкой квалифицировать как физическую теорию любую систему аксиом, которая не касается физических систем, а имеет дело с математическими объектами или же с конкретными нефизическими объектами, такими, как наблюдения, и которая не содержит никакие утверждений о законах.
Заметим, что наше требование слабой дедуктивной полноты относится лишь к утверждениям о законах. Оно не связано с условием, что из системы аксиом можно вывести любое утверждение в данной области. Физическая аксиоматическая система должна быть дедуктивно полной именно в слабом, а не сильном смысле, иначе к этой системе не удастся присоединить никаких новых предпосылок и физическая аксиоматическая система осталась бы без применения и проверки.
(В самом деле, если имеется какое-либо утверждение S в определённой области знания, то S уже будет членом полной теории Т, описывающей данную область, и таким образом S не может быть добавлено к Т. Другой возможностью было бы присоединение к теории Т отрицания утверждения я/однако это привело бы к противоречию: теория Т', которая была пополнена утверждением не-S, была бы противоречивой. Короче говоря, полная теория в сильном смысле не может быть пополнена, кроме того случая, когда выполнение этой задачи приведет к противоречивой теории. Эквивалентно: только неполные теории могут быть дополнены дальнейшими предпосылками без какого-либо риска, что это приведет к их противоречивости.)
B таком случае наши научные теории должны быть неполными, с тем чтобы их можно было пополнить не утверждениями о законах, а вспомогательными гипотезами и данными. […]
Далее, чтобы достигнуть дедуктивной полноты в слабом смысле (исчерпывающего охвата законов в данной области), мы должны построить сильную систему аксиом. То есть, если мы хотим получить достаточно богатую теорию, мы должны выбрать достаточно сильные аксиомы, а для этого нам следует использовать сильные основные (неопределяемые) понятия. Сильное понятие есть такое, которое подразумевает много других понятий, точно так же, как сильной аксиомой является такая, которая имеет много логических следствий. Поэтому при построении системы аксиом нам не нужны высказывания о единичное (суждения относительно конкретных предметов), и вообще при построении системы аксиом мы должны стремиться отбросить все частности. Конкретизация здесь столь же нелепа, как и установление в законодательном порядке диаметров трубопроводов. Эти вопросы должны решаться на уровне применений. Даже достаточно общие, но производные высказывания должны быть исключены из списка кандидатов в систему аксиом. Так, например, нет необходимости постулировать математически среднее, поскольку из статистического распределения можно получить не только усредненные значения, но с таким же успехом и все остальные статистические моменты. Одним словом, мы должны отдавать предпочтение логической силе, ибо, чем сильнее какая-либо идея, тем богаче её содержание. Пусть эксперимент подрежет нам крылья, однако сначала они должны вырасти.
(iii) Полнота первичных понятий: аксиомы, помимо физических предположений, должны служить необходимыми и достаточными условиями для любого из базисных (неопределяемых) понятий данной теории для того, чтобы эти понятия имели и математический и физический смысл. Более того, каждая такая аксиома должна иметь смысл и сама по себе, так, чтобы её можно было заменить или даже отвергнуть в поисках более совершенной теории или чтобы иметь возможность построить независимое от нее доказательство. Это требование минимума сложности. Поэтому мы должны иметь возможность разложить, например, такое утверждение: «существует бинарная ассоциативная операция на множестве S» на: «S есть множество» и «существует бинарная ассоциативная операция», так как в противном случае нельзя было бы найти модель (верную интерпретацию), в которой бы одно утверждение имело силу, тогда как другое нет.
Конкретизация математического статуса (множество, отношение, функция и т. д.) каждого первичного понятия является задачей математической, степень точности решения которой зависит от общего уровня развития математики. С другой стороны, задача придания физического смысла какому-нибудь символу редко решается достаточно удовлетворительным образом как по техническим, так и по философским причинам. Техническая трудность, коротко говоря, заключается в следующем. Если в математике некоторая теория обычно интерпретируется (если она интерпретируется вообще) в рамках некоторой другой теории (например, элементы группы интерпретируются как числа), то интерпретация физического символа состоит в приписывании ему некоторого внетеоретического объекта: или физической сущности (например, диэлектрика), или физического свойства (например, диэлектрической проницаемости). И такой физический коррелят или референт символа рассматривается как известный отчасти благодаря этой же самой физической теории. Следовательно, приписывание физического значения не делает термин термином в полном смысле этого слова. Конечно, не нужно забывать формулировать семантические предположения, ибо они, по крайней мере, обрисовывают семантический профиль первичных понятий, но не следует думать, что они обеспечат символы ясно очерченным и полным значением. Резюме: физический смысл можно придать лишь теориям в целом, и даже в этом случае лишь в общих чертах.
Что же касается философских преград на пути решения этой задачи, то их можно видеть в существовании не внушающих особого доверия философских теорий, согласно которым необходимо сводить каждый теоретический термин к комплексу лабораторных операций, вместо того чтобы исходить из теоретического объяснения последних. Так, некоторые физики, стремясь придать физический смысл общей теории относительности, но, к сожалению, смешивая при этом значение с проверяемостью, хотят заполнить всю вселенную линейками и часами, с которыми будут манипулировать вездесущие наблюдатели. Поступая таким образом, они упускают из виду, что такое обилие измерительных инструментов и наблюдателей внесло бы искажения в изучаемое ими поле, и забывают, что добавление воображаемых элементов не делает теорию более реалистичной. Если какая-то теория должна быть физической, то её следует интерпретировать именно в физических терминах: то есть не с помощью операций, совершаемых человеком, но таким образом, чтобы интерпретационные предположения приписывали (основным) символам предположительно объективные референты и чтобы эти предположения (которые могут оказаться ложными) не противоречили остальным предположениям данной системы аксиом.
(iv) Независимость первичных понятий. Основные понятия некоторой системы аксиом должны быть независимыми, то есть они не должны определяться друг через друга. (Если бы какое-либо из них определялось с помощью других основных понятий, тогда оно не было бы первичным понятием.) Значение этого свойства аксиоматической системы не столько а экономии, сколько в том, что оно сосредоточивает наше внимание на логическое базисе, предотвращая тем самым движение по кругу, как, например, попытку определить массу в виде отношения ускорения к силе (на основе ньютонова закона движения), а затем определить силу через произведение массы на ускорение.
(v) Независимость постулатов. В идеале различные аксиомы теории не должны выводиться друг из друга. (Если бы одна из них была выводима из некоторых других аксиом данной теории, то в таком случае она была бы её теоремой.) Это условие является важным в первую очередь потому, что оно облегчает изменение и перестройку теории в процессе развития знания. Ибо если имеются аксиомы, ответственные за ошибочные следствия, то их можно выявить и устранить, сохраняя при этом остальные аксиомы. Одним словом независимость постулатов способствует, прогрессу в развитии теории».
Марио Бунге, Философия физики, М., «Прогресс», 1975 г., с. 228-234.
