Аксиоматический метод построения теории по Марио Бунге
«Никакой особой и изначально заданной техники построения теорий не существует. Нельзя ни изобрести, ни запрограммировать какую-нибудь машину для построения теорий даже при условии, что её можно снабдить неограниченным количеством данных. Построение теорий является столь же творческим, неясным и неуправляемым процессом, как и создание поэмы или симфонии.
В то же время, например, имеются некоторые кустарные приёмы, помогающие в не слишком сложных случаях релятивизировать и квантовать классические теории. Специалист по теории относительности или квантовой механике, использующий эти приёмы, ясно осознаёт качественные различия между такими теориями и двусмысленности, возникающие при подобных переходах.
Аналогично существуют и некоторые эвристические правила для переформулирования физической теории аксиоматическим образом, однако успешное применение таких правил предполагает близкое знакомство с наивными или интуитивными формулировками, так же как и с их применениями. Поэтому выработать правила аксиоматизации для машины вряд ли возможно.
Как только физическая теория создана и достаточно ясно сформулирована, она может быть затем аксиоматизирована.
Последовательность шагов, которая для этого требуется, имеет примерно такой вид:
(i) Дать критический обзор основных существующих формулировок теории, имея при этом в виду, что даже в самых лучших из них могут быть пропущены весьма важные гипотезы, или, напротив, включены пустые, необоснованные предположения, или что теория в любой её форме не отвечает современным стандартам логической и математической строгости, а её физическая интерпретация неубедительна или даже противоречива.
(ii) Отобрать все основные стандартные формулы, которые фактически используются специалистами, работающими в этой области. То есть нужно собрать все те наиболее общие утверждения данной теории, и только те, которые используются в решении важных типичных проблем. Основное внимание следует обратить на то, что люди делают с помощью этих теорий, а не на то, что они говорят по их поводу.
(iii) Упомянутые выше утверждения надо расположить в порядке их общности, начиная с тех (если таковые имеются), которые не специфицируют никакие частные модели. Они и будут кандидатами либо на роль центральных аксиом, либо на место главных теорем аксиоматической теории.
(iv) Выделить главные понятия в отмеченных выше утверждениях. Некоторые из них будут первичными понятиями данной теории.
(v) Произвести предварительное разделение множества главных понятий на первичные и определяемые. Конечно, нужно начинать с понятий, которые обозначают рассматриваемую физическую систему. В противном случае вы можете так и не узнать, о чем идёт речь.
(vi) Переформулировать ключевые утверждения (о которых шла речь в третьем пункте) в терминах кандидатов в первичные понятия (о которых говорилось в пятом пункте), используя при этом все необходимые логические и математические идеи.
(vii) Тщательно рассмотреть предшествующее множество утверждений и попытаться вывести более частные утверждения из более общих. Если нужно, следует добавить несколько дополнительных предположений. Те утверждения, которые не могут быть выведены таким способом, будут, вероятно, либо чуждыми теории, либо компонентами частной модели рассматриваемого предмета, но не ингредиентами общей теории.
(viii) Собрать все доказывающие утверждения или предпосылки и отложить все доказываемые. Первые будут принадлежать к аксиоматическому основанию теории.
(ix) Составить пересмотренный список первичных понятий, исследуя основные понятия утверждений, отобранных на восьмом шаге, (Некоторые новые исходные первичные понятия могут пойти незаметно вместе с дополнительными предпосылками, введенными на седьмом этапе.)
(х) Изложить те математические и семантические условия, которым должны подчиняться первичные понятия для того, чтобы удовлетворять требованиям для кандидатов в аксиомы, которые были отобраны на восьмом этапе.
(xi) Собрать все кандидатуры на роль постулатов, полученные на восьмом и десятом этапах.
(xii) Перечислить все теории, утверждения которых считают предшествующими данной теории: они будут составлять основу или фон для данной теории.
(xiii) Собрать результаты девятого, одиннадцатого и двенадцатого этапов, то есть перечислить предположения, первичные понятия и аксиомы данной теории. Одно из возможных аксиоматических оснований данной теории будет готово.
(xiv) Проверить, приводит ли предшествующее к стандартным формулам теории или же уже содержит их (шаг ii). Если нет, то нужно рассмотреть список и дополнить его новыми аксиомами или же, наоборот, вычеркнуть некоторые из имеющихся аксиом.
(xv) Проверить, не содержит ли система аксиом каких-нибудь явно ошибочных следствий. Если содержит, то попытаться проследить их источники (производные и/или аксиомы) и видоизменить их, пока все нежелательное не будет устранено. Заменить их, если это необходимо.
(xvi) Проверить систему аксиом на непротиворечивость, независимость первичных понятий независимость аксиом, а в конце и на другие математические свойства, если у вас ещё осталась на это энергия.
Последний шаг - метаматематический анализ нeкoтoрой системы аксиом - осуществляется редко. Причины отсутствия таких исследований ясны.
Во-первых, метаматематические исследования часто очень трудно осуществить.
Во-вторых, специалисты в области исследований оснований науки обычно спешат заняться следующей теорией.
В-третьих, они доверяют, хотя зачастую и ошибочно, своему чутью. Тем не менее систематическое исследование свойств аксиоматических систем совершенно необходимо, являясь столь же благодарной задачей, как и аналогичные исследования математических теорий, которые именно этим исследованиям обязаны все большей своей убедительностью и даже красотой.
Само собой разумеется, что рассмотренные выше правила процедуры аксиоматизации должны применяться критически и с некоторым воображением, если мы хотим получить какие-нибудь существенные результаты. Реконструкция теорий отнюдь не механический процесс. Она требует известного чутья и опыта в поиске ключевых идей теории, а также равновесия между педантичной строгостью и полным её отсутствием».
Марио Бунге, Философия физики, М., «Прогресс», 1975 г., с. 225-228.
